소단원 | 공통수학2_II. 집합과 명제_2. 명제_03 명제의 증명

다음은 가 자연수일 때, 명제 " 이 홀수이면 는 짝수이다." 가 참임을 증명한 것이다. 주어진 명제의 대우 " 가 홀수이면 은 (가) 이다."가 참임을 보이면 된다. 가 홀수이면 모두 (나) 이므로 ( 은 자연수) 로 나타낼 수 있다. 이때, (다) 이므로 은 (가) 이다. 따라서 대우가 참이므로 주어진 명제는 참이다. 위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

다음은 자연수 에 대하여 는 의 배수가 아님을 귀류법으로 증명한 것이다. [ 증 명 ] 가 의 배수라고 가정하면 ( 는 자연수)로 나타낼 수 있으므로이다. 이 짝수이므로 도 짝수이다. 따라서 ( 은 자연수)로 나타내면 로부터이다. (ii)의 좌변은 짝수이고 우변은 홀수이므로 모순이다. 그러므로 자연수 에 대하여 는 의 배수가 아니다. 위의 과정에서 , 에 알맞은 식을 각각 이라 하자. 이 때, 의 값은?

이 자연수일 때, 다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하시오. '이 짝수이면 도 짝수이다.'

, 이 자연수일 때, 다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하시오. '이 짝수이면 은 짝수 또는 은 짝수이다.'

이 자연수일 때, 다음 명제가 참임을 대우를 이용하여 증명하시오. ' 이 의 배수이면 도 의 배수이다.'

다음 명제가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하시오. ' 는 유리수가 아니다.'

가 실수일 때, 다음 명제가 참임을 귀류법을 이용하여 증명하시오. ' 이면 이고 이다.'

가 실수일 때, 부등식 이 성립함을 증명하시오.

가 실수일 때, 부등식 가 성립함을 증명하시오.